题目内容
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间
内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在
内的零点，判断数列x2，x3，…，xn…的增减性。
解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x-1，
∴fn（
）fn（1）=（
-
）×1＜0，
∴fn（x）在区间
内存在零点
再由fn（x）在区间
内单调递增，可得fn（x）在区间
内存在唯一的零点。
（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
故函数f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4。
当
＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f2（-1）-f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾
当-1≤-
＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）-
=
≤4 恒成立
当0≤-
≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-
=
≤4 恒成立
综上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x-1在
内的唯一零点，
则有fn（xn）=
+xn-1=0，fn+1（xn+1）=
+xn+1-1=0
当xn+1∈
时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=
+xn+1-1＜
+xn+1-1=fn（xn+1）．由（1）知，fn（x）在区间
内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn
单调递增数列。
∴fn（
）fn（1）=（-）×1＜0，∴fn（x）在区间
内存在零点再由fn（x）在区间
内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点。（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
故函数f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4。
当
＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f2（-1）-f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾当-1≤-
＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）-=≤4 恒成立当0≤-
≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-=≤4 恒成立综上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x-1在
内的唯一零点，则有fn（xn）=
+xn-1=0，fn+1（xn+1）=+xn+1-1=0当xn+1∈
时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+1-1＜+xn+1-1=fn（xn+1）．由（1）知，fn（x）在区间内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn单调递增数列。
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