题目内容

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=
5
6
36
，则(a2+b2+c2)(
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
)的最小值为
 
．
分析：先利用正弦定理用a，b和c以及R分别表示出sinA，sinB，sinC，进而把原式展开后利用基本不等式求得其最小值．
解答：解：由正弦定理可知
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R
∴sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R

∴(a2+b2+c2)(
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
)
=4R2（a2+b2+c2）（
1
a2
+
1
b2
 +
1
c2
）
=4R2（3+
a2
b2
+
b2
a2
+
a2
c2
+
c2
a2
+
c2
b2
+
b2
c2
）≥4R2（3+2+2+2）=
25
6
（当且仅当a=b=c时等号成立）．
故答案为：
25
6
点评：本题主要考查了正弦定理的应用，基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是利用正弦定理把问题转化为边的问题，进行解决．
练习册系列答案
相关题目
在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则
sinB
sinC
的值为（　　）
A、
8
5
B、
5
8
C、
5
3
D、
3
5
在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2
（1）求∠A；
（2）若a=
3
，求b2+c2的取值范围．
在三角形ABC中，已知2
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若cos(β-α)=
4
3
7
，其中β∈(
π
3
，
5π
6
)，求cosβ的值．
在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b且b=4，c=5，∠A=45°，则
AB
•
CA
=
-10
2
-10
2
．
已知f（x）=2
3
sinx+
sin2x
sinx
．
（I）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（II）在三角形ABC中a、b、c分别是角A、B、C所对的边，对定义域内任意x有f（x）≤f（A），且b=1，c=2，求a的值．

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