Question

选做题：（从所给的A，B两题中任选一题作答，若做两题，则按第一题A给分，共5分）
A．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点坐标为

 

．
B．已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）；（2）

x+y

2

≥

xy

；
（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序号是

 

．

Answer 1

分析：A 把极坐标方程化为直角坐标方程求出交点的坐标，再把交点的坐标化为极坐标．
B 利用作差法及绝对值不等式的性质判断两个式子的大小关系．

解答：解：A 曲线ρ=2sinθ  即 ρ²=2ρsinθ，化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1．
 ρcosθ=-1即x=-1，把x=-1代入x²+（y-1）²=1可得交点坐标为（-1，1），
该点到原点的距离为

2

，该点在第二象限的平分线上，
故极角为

3π

4

，故交点的极坐标为(

2

，

3π

4

)，
故答案为 (

2

，

3π

4

)．
B∵x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，∴x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）成立．
故（1）正确．
当 x和y 为负数时，（2）显然不成立．
∵|x+y|=|x-2+y+2|≤|x-2|+|y+2|，故（3）正确．
∵x²+y²+z²-（xy+yz+zx ）=

(x-y)2

2

+

(y-z)2

2

+

(z-x)2

2

≥0，故（4）正确．

点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，绝对值不等式的性质，变形是解题的关键．