Question

设a＞0，函数f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)．
（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处与直线y=-x+1垂直的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在（2，f（2））处与直线y=-x+1垂直，求出a的值，从而可得切线方程；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)
∴f′(x)=x-a-1+

a

x

∵曲线y=f（x）在（2，f（2））处与直线y=-x+1垂直
∴2-a-1+

a

2

=1
∴a=0
∴f（x）=

1

2

x2-x
∴f（2）=0
∴所求切线方程为y-0=x-2，即x-y-2=0；
（2）f′(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
∴a≤0时，函数在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴函数在x=1时，取得极小值-

1

2

；
0＜a＜1时，函数在（a，1）上单调递减，在（0，a）、（1，+∞）上单调递增，∴函数在x=1时，取得极小值-

1

2

，在x=a时，函数取得极大值-

1

2

a2+alna；
a=1时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，∴函数无极值；
a＞1时，函数在（1，a）上单调递减，在（0，1）、（a，+∞）上单调递增，∴函数在x=1时，取得极大值-

1

2

，在x=a时，函数取得极小值-

1

2

a2+alna．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．