题目内容

设a>0,函数f (x) 是定义在(0,+∞)的单调递增的函数且f (
axx-1
)<f(2),试求x的取值范围.
分析:由已知中a>0,函数f (x) 是定义在(0,+∞)的单调递增的函数且f (
ax
x-1
)<f(2),我们可得到一个关于x的不等式(含参数a),根据二次不等式的解法,分a=2时,0<a<2时和当a>2时,三种情况讨论,即可得到x的取值范围.
解答:解∵函数f (x) 是定义在(0,+∞)的单调递增的函数又∵a>0∴由
ax
x-1
>0
可以解得x>1或x<0.    (2分)
ax
x-1
<2?
(a-2)x+2
x-1
<0?(x-1)[(a-2)x+2]<0
(2分)
(1)当a=2时,原不等式?x<0;                        (3分)
(2)当0<a<2时,原不等式?x<0或x>
-2
a-2
;         (3分)
(3)当a>2时,原不等式?
-2
a-2
<x<0
.(3分)
点评:本题考查的知识点是函数的单调性的性质,一元二次不等式的解法,其中根据已知条件,结合函数单调性,将f (
ax
x-1
)<f(2),转化为(x-1)[(a-2)x+2]<0是解答本题的关键,本题易忽略a=2时的情况,造成答案的不完整!
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