题目内容
设a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．则实数a的取值范围为
（0，3]
（0，3]
．分析：函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数?f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立?a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．再利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：f′（x）=3x2-a．
∵函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．
∴a≤3×12=3，又a＞0，
∴0＜a≤3．
故答案为（0，3]．
∵函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．
∴a≤3×12=3，又a＞0，
∴0＜a≤3．
故答案为（0，3]．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性及其把问题正确等价转化等是解题的关键．
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