Question

17．过点（1，0）作曲线y=e^x的切线，则切线方程为e²x-y-e²=0．

Answer 1

分析 设出切点坐标（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），求出原函数的导函数，得到函数在x=x₀时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．

解答 解：由线y=e^x，得y′=e^x，
设切点为（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），
则${y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
∴切线方程为$y-{e}^{{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
∵切线过点（1，0），
∴$-{e}^{{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}（1-{x}_{0}）$，
解得：x₀=2．
∴切线方程为y-e²=e²（x-2），整理得：e²x-y-e²=0．
故答案为：e²x-y-e²=0．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．