Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）若点E为PB的中点，棱PC（不包括端点）上是否存在点F，使得DF∥平面AEC？若存在，找出点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：先证明AC⊥BD，PD⊥AC得出AC⊥平面PDB，即证平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）先证明PD∥平面AEC，再假设存在DF∥平面AEC，由此证明平面PDC∥平面AEC，得出与平面PDC和平面AEC有公共点矛盾，从而证明点F不存在．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC；
又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB；
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）如图所示；
设AC、BD交于点O，连接OE，
∵点E为PB的中点，
∴OE∥PD；
又OE?平面AEC，PD?平面AEC，
∴PD∥平面AEC；
假设棱PC（不包括端点）上存在点F，使得DF∥平面AEC，
∵DF∩PD=D，
∴平面PDC∥平面AEC；
这与平面PDC和平面AEC有公共点C矛盾，
∴假设不成立，即点F不存在．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了直线与平面以及平面与平面平行的判定与性质的应用问题，是基础题目．