题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
为
的中点,
为
上一点,
交
于点
.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连接交
于点
,连接
,要证
平面
,转证
即可;
(2)取的中点
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,平面
的法向量为
,平面
的法向量为
利用公式即可得到二面角
的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图5,连接交
于点
,连接
,
∵平面
平面
且
为矩形,
∴平面
,
∴.
则在直角三角形中,
.
又∵为
的中点,
∴.
又∵,则
为
的中点,
在三角形中,
,
∵平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)解:取的中点
为坐标原点,建立如图6所示的空间直角坐标系
.
取的中点
,连接
,
在中,
,
分别为
,
的中点,
,
在中,
为
的中点,则
为
的中点, 故
.
,
,
设,
,
则,
.
设平面的法向量为
,
解得
平面的法向量为
设二面角的平面角为
,因为
为锐角,
所以二面角的平面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校的特长班有名学生,其中有体育生
名,艺术生
名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于
次/分到
次/分之间.现将数据分成五组,第一组
,第二组
,…,第五章
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(1)求的值,并求这
名同学心率的平均值;
(2)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为心率小于
次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.