题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x0，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A1、A2处时，|PM|取得最大值与最小值，求x0的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA2⊥BA2．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
（1）设P（x，y）且
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
则f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=
c2
a2
x2-2x0x+x02+b2，则对称轴方程为x=
a2
c2
x0，
由题意只有当
a2x0
c2
≥a或
a2x0
c2
≤-a时满足题意，所以x0≥
c2
a
或x0≤-
c2
a

故x0的取值范围是(-∞，-
c2
a
]∪[
c2
a
，+∞)．                                    
（2）因为|c|＞
c2
a
所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3．
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1．                                        
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1

得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0
x1+x2=
8mk
3+4k2
x1x2= 
4(m2-3)
3+4k2

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=
3(m2-4k2)
3+4k2
，
因为椭圆的右顶点为A2（2，0），∴kAA2kBA2=-1，即
y1
x1-2
y21
x2-2
=-1，
y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
∴
3(m2-4k2)
3+4k2
+
4(m2-3)
3+4k2
+
16mk
3+4k2
+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0．
解得：m1=-2k，m2=-
2k
7
，且均满足3+4k2-m2＞0，
当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m2=-
2k
7
时，l的方程为y=k（x-
2
7
），直线过定点（
2
7
，0）．
所以，直线l过定点，定点坐标为（
2
7
，0）．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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