Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（I）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（II）求证数列{

an

2n

}为等差数列
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，可得b₁=a₂-2a₁=3，又当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，与条件相减，即可证得{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列；
（II）由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，即可证明数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列；
（Ⅲ）由（II） 

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答：（I）证明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得 a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由 S_n+1=4a_n+2，①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．        …（6分）
（II）证明：由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．
所以 数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．…（10分）
（Ⅲ）解：由（II） 

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即an=(3n-1)•2n-2（n∈N^*）．…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项，正确运用等差数列与等比数列的定义是关键．