Question

16．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立．
（1）求a、b的值；
（2）记h（x）=-$\frac{1}{2}$f（x）-4，那么当k≥$\frac{1}{2}$时，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得函数h（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=0，求出x的值，得到f（-2）=f（4）=0，从而求出函数f（x）的表达式；
（2）先求出函数h（x）的解析式，根据二次函数的性质求出函数h（x）的值域，从而求出h（x）的最值，通过讨论k的范围，从而得到结论．

解答 解：（1）g（x）=2（x²-2x-8）=2（x-4）（x+2），g（x）=0时，x=2或4，
因为|f（x）|≤|g（x）|恒成立，
所以|f（-2）|≤0，|f（4）|≤0，所以f（-2）=f（4）=0
所以f（x）=（x-4）（x+2）=x²-2x-8，经检验，满足题意；      
（2）$h（x）=-\frac{1}{2}f（x）-4=-\frac{1}{2}{x^2}+x=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}$，
对称轴为x=1，x∈R时h（x）的值域为$（{-∞，\frac{1}{2}}]$，
所以$[{m，n}]⊆（{-∞，\frac{1}{2}}]$，所以$n≤\frac{1}{2}$，所以n＜1，
所以$\begin{array}{l}h{（x）_{max}}=h（n）=-\frac{1}{2}{n^2}+n=kn\\ h{（x）_{min}}=h（m）=-\frac{1}{2}{m^2}+m=km\end{array}$，
所以n=0或2（1-k），m=0或2（1-k），
因为n＞m，所以：$\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤k＜1时，存在，n=2（1-k），m=0；\\ k＞1时，存在，n=0，m=2（1-k）；\\ k=1时，不存在.\end{array}$

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．