题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)求在区间
上的最小值.
【答案】(1)的增区间为
,
,减区间为
;(2)当
时,
的最小值为
;当
时,
的最小值为
;当
时,
的最小值为
.
【解析】
试题分析:(1)研究单调性,可求出导函数,然后解不等式
得单调增区间,解不等式
得减区间,注意绝对值,要分类求解;(2)由于
,因此先分类
,
,
,前两种情形,绝对值符号直接去掉,因此只要用导数
研究单调性可得最值,第三种情形同样要去绝对值符号,只是此时是分段函数,
,
,可以看出这时又要分类:
,
,得单调性再得最小值.
试题解析:(1)当时,
.
①当时,
,
,
∴在
单调递增;
②当时,
,
.
时,
,∴
在
单调递减;
时,
,∴
在
单调递增.
综上,的增区间为
,
,减区间为
.
(2)①时,
,
,
,
.
②时,
,
,
,
在
单调递增,
∴.
③时,而
,
∴
(i)时,
在
上单增,
为最小值.
在
上恒成立,
∴在
上单调递减,
∴.
(ii)时,
在
上单调递增,
.
在时,
,
∴.
综上可知,当时,
的最小值为
;当
时,
的最小值为
;当
时,
的最小值为
.
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