题目内容
13.点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点P可作抛物线x2=y的两条切线,切点分别为A,B.(Ⅰ)设点A(x1,y1),求证:切线PA的方程为y=2x1x-x12;
(Ⅱ)若直线AB交y轴于R,OP⊥AB于Q点,求证:R是定点并求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值.
分析 (Ⅰ)设以A(x1,x12)为切点的切线方程为y-x12=k(x-x1),联立抛物线方程,运用判别式为0,求得斜率k,即可得证;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,x1x2),设直线AB方程,联立抛物线方程,求得P的坐标,由垂直的条件,可得R的坐标,进而得到|PQ|,|QR|,运用基本不等式即可得到最小值.
解答 证明:(Ⅰ)设以A(x1,x12)为切点的切线方程为y-x12=k(x-x1),
联立抛物线方程,可得x2-kx+kx1-x12=0,
由△=k2-4kx1+4x12=(k-2x1)2=0,
得k=2x1,所以切线PA:y=2x1x-x12;
(Ⅱ)设B(x2,x22),
由(Ⅰ)可得切线PB:y=2x2x-x22,可得P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,x1x2),
设AB:y=kx+m与y=x2联立得x2-kx-m=0,
即P($\frac{k}{2}$,-m),由题意可得k•kOP=k•$\frac{-m}{\frac{k}{2}}$=-2m=-1,
解得m=$\frac{1}{2}$,即R(0,$\frac{1}{2}$),由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可得Q(-$\frac{k}{2({k}^{2}+1)}$,$\frac{1}{2({k}^{2}+1)}$),
|PQ|=$\frac{|2+{k}^{2}|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$,|QR|=$\sqrt{|OR{|}^{2}-|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|k|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
所以$\frac{|PQ|}{|QR|}$=$\frac{{k}^{2}+2}{|k|}$=|k|+$\frac{2}{|k|}$≥2$\sqrt{2}$,
当且仅当k=±$\sqrt{2}$时,$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值为2$\sqrt{2}$.
点评 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的方程的运用,联立直线方程,运用判别式为0,同时考查直线垂直的条件,考查运算求解能力,属于中档题.
A. | 3 | B. | 6 | C. | $3\sqrt{2}$ | D. | $\frac{8}{3}$ |
A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
A. | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | 1 |