题目内容

已知抛物线C:y2=x,过定点A(x0,0)(x0
18
)
,作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限).
(Ⅰ)当点A是抛物线C的焦点,且弦长|PQ|=2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设点Q关于x轴的对称点为M,直线PM交x轴于点B,且BP⊥BQ.求证:点B的坐标是(-x0,0)并求点B到直线l的距离d的取值范围.
分析:(1)先求出抛物线的焦点坐标,然后假设直线l的方程为:x=ny+
1
4
,将P,Q的坐标设出,联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和,然后根据|PQ|的长度得到n的值.
(2)先设l:x=my+x0(m≠0),再根据对称性得到点M的坐标,联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积,表示出
BM
BP
根据
BM
BP
,得到关系式x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2.再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是(-x0,0).先确定△BMQ为等腰直角三角形,得到kPB=1,再表示出点B到直线l的距离d即可求范围.
解答:解:(Ⅰ)由抛物线C:y2=x得抛物线的焦点坐标为(
1
4
,0)

设直线l的方程为:x=ny+
1
4
,P(x1,y1),Q(x2,y2).
y2=x
x=ny+
1
4
y2-ny-
1
4
=0

所以△=n2+1>0,y1+y2=n.因为x1=ny1+
1
4
x2=ny2+
1
4

所以|PQ|=x1+
1
4
+x2+
1
4
=x1+x2+
1
2
=n(y1+y2)+1=2

所以n2=1.即n=±1.
所以直线l的方程为:x-y-
1
4
=0
x+y-
1
4
=0

(Ⅱ)设l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x2,-y2).
x=my+x0
y2=x
得y2-my-x0=0.
因为x0
1
8
,所以△=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=-x0
(ⅰ)设B(xB,0),则
BM
=(x2-xB,-y2),
BP
=(x1-xBy1)

由题意知:
BM
BP
,∴x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=(y1+y2)y1y2
显然y1+y2=m≠0,∴xB=y1y2=-x0.∴B(-x0,0).
(ⅱ)由题意知:△BMQ为等腰直角三角形,∴kPB=1,
y1+y2
x1-x2
=1
,即
y1+y2
y12-y22
=1
.∴y1-y2=1.
∴(y1+y22-4y1y2=1.∴m2+4x0=1.∴m2=1-4x0>0.
x0
1
4
.∵x0
1
8
,∴
1
8
x0
1
4

d=
2x0
m2+1
=
2x0
2-4x0
=
2
(
1
x0
)
2
-2(
1
x0
)
=
2
(
1
x0
-1)
2
-1
∈[
6
12
1
2
)

即d的取值范围是[
6
12
1
2
)
点评:本题主要考查抛物线和直线的综合题.圆锥曲线和直线的综合题是高考的热点问题,每年必考,要给予重视.
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