题目内容
已知抛物线C:y2=x,过定点A(x0,0)(x0≥1 | 8 |
(Ⅰ)当点A是抛物线C的焦点,且弦长|PQ|=2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设点Q关于x轴的对称点为M,直线PM交x轴于点B,且BP⊥BQ.求证:点B的坐标是(-x0,0)并求点B到直线l的距离d的取值范围.
分析:(1)先求出抛物线的焦点坐标,然后假设直线l的方程为:x=ny+
,将P,Q的坐标设出,联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和,然后根据|PQ|的长度得到n的值.
(2)先设l:x=my+x0(m≠0),再根据对称性得到点M的坐标,联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积,表示出
和
根据
∥
,得到关系式x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2.再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是(-x0,0).先确定△BMQ为等腰直角三角形,得到kPB=1,再表示出点B到直线l的距离d即可求范围.
1 |
4 |
(2)先设l:x=my+x0(m≠0),再根据对称性得到点M的坐标,联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积,表示出
BM |
BP |
BM |
BP |
解答:解:(Ⅰ)由抛物线C:y2=x得抛物线的焦点坐标为(
,0),
设直线l的方程为:x=ny+
,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由
得y2-ny-
=0.
所以△=n2+1>0,y1+y2=n.因为x1=ny1+
,x2=ny2+
,
所以|PQ|=x1+
+x2+
=x1+x2+
=n(y1+y2)+1=2.
所以n2=1.即n=±1.
所以直线l的方程为:x-y-
=0或x+y-
=0.
(Ⅱ)设l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x2,-y2).
由
得y2-my-x0=0.
因为x0≥
,所以△=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=-x0.
(ⅰ)设B(xB,0),则
=(x2-xB,-y2),
=(x1-xB,y1).
由题意知:
∥
,∴x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2.
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=(y1+y2)y1y2.
显然y1+y2=m≠0,∴xB=y1y2=-x0.∴B(-x0,0).
(ⅱ)由题意知:△BMQ为等腰直角三角形,∴kPB=1,
即
=1,即
=1.∴y1-y2=1.
∴(y1+y2)2-4y1y2=1.∴m2+4x0=1.∴m2=1-4x0>0.
∴x0<
.∵x0≥
,∴
≤x0<
.
∴d=
=
=
=
∈[
,
).
即d的取值范围是[
,
).
1 |
4 |
设直线l的方程为:x=ny+
1 |
4 |
由
|
1 |
4 |
所以△=n2+1>0,y1+y2=n.因为x1=ny1+
1 |
4 |
1 |
4 |
所以|PQ|=x1+
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
所以n2=1.即n=±1.
所以直线l的方程为:x-y-
1 |
4 |
1 |
4 |
(Ⅱ)设l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x2,-y2).
由
|
因为x0≥
1 |
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(ⅰ)设B(xB,0),则
BM |
BP |
由题意知:
BM |
BP |
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=(y1+y2)y1y2.
显然y1+y2=m≠0,∴xB=y1y2=-x0.∴B(-x0,0).
(ⅱ)由题意知:△BMQ为等腰直角三角形,∴kPB=1,
即
y1+y2 |
x1-x2 |
y1+y2 |
y12-y22 |
∴(y1+y2)2-4y1y2=1.∴m2+4x0=1.∴m2=1-4x0>0.
∴x0<
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1 |
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1 |
8 |
1 |
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∴d=
2x0 | ||
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2x0 | ||
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| ||||||
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| ||||
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| ||
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1 |
2 |
即d的取值范围是[
| ||
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2 |
点评:本题主要考查抛物线和直线的综合题.圆锥曲线和直线的综合题是高考的热点问题,每年必考,要给予重视.

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