Question

（2007•河东区一模）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（　　）

• A．

  13

  13

• B．

  3

  6

• C．

  3

  3

• D．

  26

  26

Answer 1

分析：根据题意，算出正四棱锥一个侧面的面积为

5

4

，从而算出斜高h=

5

2

，进而得出它的侧棱长为

26

2

．再由正四棱锥的定义得侧棱在底面的射影长为底面对角线的一半，结合直线与平面所成角的定义即可算出正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值．

解答：解：∵棱长为1的正方体，全面积为6
∴题中正四棱锥的侧面积为5，可得一个侧面的面积为

5

4

设它的侧棱长为l，则它的斜高h=

l2-( 1 2 )2

∵一个侧面的面积为S=

1

2

×1×h=

5

4

∴h=

5

2

，即

l2-( 1 2 )2

=

5

2

，解之得侧棱长l=

26

2

又∵正四棱锥中，侧棱在底面的射影长为底面对角线的一半
∴正四棱锥的侧棱与底面所成角为α，则cosα=

2 2

26 2

=

13

13

即这一正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为

13

13

故选：A

点评：本题给出特殊的正四棱锥，求它的侧棱与底面所成角的大小．着重考查了正四棱锥的性质、解三角形和直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．