题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
．求椭圆的方程．
．求椭圆的方程．
， 或 
本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．
解：求椭圆方程为
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
将②式代入①式，整理得(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)="0, " ③ ——2分
设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为
P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)． ——3分
由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得
整理得
——6分解这个方程组，得
或 
根据根与系数的关系，由③式得
(Ⅰ)
或 (Ⅱ) 
——10分
解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得
或 
故所求椭圆的方程为， 或 ——12分
解：求椭圆方程为
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
|
将②式代入①式，整理得(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)="0, " ③ ——2分设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为
P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)． ——3分
由题设OP⊥OQ,|PQ|=
，可得整理得
|
——6分解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由③式得
(Ⅰ)
或 (Ⅱ) ——10分解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得
或 故所求椭圆的方程为
， 或 ——12分
练习册系列答案
相关题目
分别是椭圆
的左右焦点，
点在椭圆上，
是面积为
的正三角形，求
的值。
是椭圆
的两个焦点，
是椭圆上任意一点，求
的最大值和最小值。
，离心率
，那么它的短轴长是（ ）
，
，若直线
和椭圆
有公共点，则
的取值范围是
、
； 
、
； 
、
； 
、
.
、
是它的焦点，长轴长为
，焦距为
，静放在点
是椭圆的左焦点，
是椭圆上一点，
轴，
，
求椭圆的离心率。
（
）的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线与椭圆的一个交点为
，若
垂直于
轴，则椭圆的离心率为( )
