Question

16．已知M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的动点，N是圆（x-1）²+y²=1的动点，求|MN|最小值．

Answer 1

分析 求得圆的圆心A和半径r，设M（3cosα，2sinα）（0≤α＜2π），运用两点的距离公式，结合同角的平方关系，配方由二次函数的最值求法，可得|AM|的最小值，即可得到|MN|的最小值为|AM|-r．

解答 解：在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，
圆（x-1）²+y²=1圆心坐标是A（1，0），半径r=1，
设M（3cosα，2sinα）（0≤α＜2π），
则|AM|=$\sqrt{（3cosα-1）^{2}+4si{n}^{2}α}$=$\sqrt{9co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α-6cosα+1}$
=$\sqrt{5co{s}^{2}α-6cosα+5}$=$\sqrt{5（cosα-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，
由于cosα∈[-1，1]，当cosα=$\frac{3}{5}$时，|AM|取得最小值，且为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
即有|MN|的最小值为|AM|-r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

点评 本题考查椭圆上的点到圆上的点的距离最小值，解题时要认真审题，注意运用椭圆的参数方程的运用，以及二次函数的最值的求法，值域中档题．