题目内容
13．f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+a2，g（x）=-2x3-3x2+12x-a，x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，则实数a的范围是a＞2或a＜-3．分析 不等式整理为lnx+$\frac{1}{x}$+2x3+3x2-12x＞-a2-a，只需求左式的最小值，构造函数m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x3+3x2-12x，利用导数求出函数的极小值即为函数的最小值．
解答 解：f（x）＞g（x）恒成立，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+a2+2x3+3x2-12x+a＞0，
∴lnx+$\frac{1}{x}$+2x3+3x2-12x＞-a2-a，
令m（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+2x3+3x2-12x，
m'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+6x2+6x-12=$\frac{（x-1）[6{x}^{2}（x+1）+6x（x+1）+1]}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，m'（x）＜0，m（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）≥m（1）=-6，
∴-6＞-a2-a，
∴a＞2或a＜-3，
故答案为a＞2或a＜-3．
点评 考查了利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最值和恒成立问题的转换．
练习册系列答案
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4．下列关于命题的说法错误的是（ ）
| A． | 若命题p：?n∈N，2n＞1000，则￢p：?n∈N，2n≤1000 | |
| B． | 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”，逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”； | |
| C． | “a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件； | |
| D． | 命题“?x∈（-∞，0），2x＜3x”是真命题 |
8．已知集合A={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$}，集合B={y|y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$}，则A∩B=（ ）
| A． | ∅ | B． | R | C． | [3，+∞） | D． | [0，+∞） |
已知圆C1：x2+y2=r2与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于x轴的交点重合，且椭圆C2的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圆C1上的点到直线l：x=-2$\sqrt{2}$的最短距离为2$\sqrt{2}$-2．
2．下列各对向量中，互相不垂直的是（ ）
| A． | $\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（4，3） | B． | $\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，-2） | C． | $\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，2） | D． | $\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（1，1） |