Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q≠1），若i，j，k∈N⁺且1≤i＜j＜k≤n（n≥3），则a_ia_ja_k不同的值共有

3n-8

种．

Answer 1

分析：由等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，利用等比数列的通项公式化简所求的式子a_ia_ja_k，因为首项和公比的值确定，a_ia_ja_k取不同值的个数由指数i+j+k来确定，即i+j+k表示整数的个数即为a_ia_ja_k不同的值的个数，由已知i，j及k的取值及范围，得到最大为n-2+n-1+n，最小为1+2+3，求出最小与最大间整数的个数即可求出a_ia_ja_k不同的值的个数．

解答：解：∵a_ia_ja_k=a₁q^i+j+k-3，
∴a_ia_ja_k不同的值的个数由取决于i+j+k的取值个数，
又i，j，k∈N⁺且1≤i＜j＜k≤n（n≥3），
∴i+j+k的最大值为（n-2）+（n-1）+n，最小值为1+2+3，
而这个范围之间共有[（n-2）+（n-1）+n]-（1+2+3）+1=3n-8个整数，
则a_ia_ja_k不同的值共有3n-8种．
故答案为：3n-8

点评：此题考查了等比数列的通项公式，利用了转化的思想，熟练掌握通项公式，归纳出序号的和不同则三项的乘积不同是解本题的关键，本题计数时易遗漏一个，最大数减最小数再加1者所有数的个数．