Question

6．已知数列{a_n}的各项均为正数，且a_n满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，n∈N^*
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（3）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，n∈N^*．令n=1，可得${a}_{1}^{2}$-a₁-2=0，a₁＞0，解得a₁即可．
（2）由a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，因式分解为（a_n+1）（a_n-2n）=0，又a_n＞0，解得a_n．再利用等差数列的前n项和公式即可得出S_n．
（3）b_n=2²ⁿ=4ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．

解答 （1）解：由a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，n∈N^*．
令n=1，可得${a}_{1}^{2}$-a₁-2=0，a₁＞0，解得a₁=2．
（2）解：∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，∴（a_n+1）（a_n-2n）=0，
∵a_n＞0，解得a_n=2n．
∴前n项和S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
（3）证明：b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
∴对一切正整数n，有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$$＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．