Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两个动点A，B，满足AO⊥BO．
（1）求A，B两点的横坐标之积；
（2）证明直线AB过定点；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出AB的方程，A，B的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用抛物线方程求得y₁y₂=的表达式，进而根据AO⊥BO推断出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，即可得到A，B两点的横坐标之积
（2）由（1）直线AB的方程，进而得到定点；
（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$•1•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+4}$，即可求出最小值．

解答 解：（1）显然直线AB的斜率存在，记为k，
AB的方程记为：y=kx+b，（b≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，则有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，
又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
解得b=1，
则x₁x₂=-b=-1；
（2）证明：由（1）可得b=1，
∴直线AB：y=kx+1，
则有恒过定点（0，1）；
（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$•1•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+4}$≥1，
当且仅当k=0时，等号成立，
∴△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，涉及到直线与圆锥线的问题一般是联立方程，设而不求，属于中档题．