题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆上一动点，当
的面积最大时，其内切圆半径为
，设过点
的直线
被椭圆
截得线段
,
当
轴时，
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点
为椭圆的左顶点，
是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线
的斜率分别为
，若
，试问直线
是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）直线
过定点，定点坐标为
.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质得到
的关系，结合已知条件，可求椭圆方程。
（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的求法，即可得到所求定点，切记在斜率不存在时进行检验。
解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得
，得
①
将
代入
，结合
②，得
，
所以
③，由①②③得
故椭圆
的标准方程为
（2）设点
的坐标分别为
，
.
①当直线的斜率不存在时，由题意得
或
，
直线的方程为
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得
，消去
得
，
由
，得
）
由
可得
，
得
，
整理得
由（1）和（2）得
，解得
或
当时，直线的方程为
，过定点
，不合题意；
当时，直线的方程为
，过定点，
综上直线过定点，定点坐标为.
【题目】2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：
得分 |
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频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分
服从正态分布
，
近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求
；
（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于
的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元） | 20 | 40 |
概率 |
|
|
现市民小王要参加此次问卷调查，记
（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.
附：①
；
②若
，则
，
，
.
