题目内容
【题目】设满足以下两个条件的有穷数列为
阶“期待数列”:①
;②
.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前
项和为
,试证:
.
【答案】(1)数列,0,
为三阶期待数列,数列
,
,
,
为四阶期待数列;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)数列,0,
为三阶期待数列,数列
,
,
,
为四阶期待数列.
(2)设该2013阶“期待数列”的公差为,由于
,可得
,
,对
分类讨论,利用等差数列的通项公式即可得出.
(3)当时,显然
成立;当
时,根据条件①得:
,即
,再利用绝对值不等式的性质即可得出.
解:(1)数列,0,
为三阶期待数列,
数列,
,
,
为四阶期待数列.
(2)设该2013阶“期待数列”的公差为,
,
,
,即
,
,
当时,与期待数列的条件①②矛盾,
当时,据期待数列的条件①②可得
,
,即
,
,
,
当时,同理可得
,
,
.
(3)当时,显然
成立;
当时,根据条件①得:
,
即,
,
,2,
,
.
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