题目内容

9.如图,已知PA与半圆O切于点A,PO交半圆O于点B、C,AD⊥PO于点D.
(Ⅰ)求证AB平分∠PAD;
(Ⅱ)求证$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$.

分析 (Ⅰ)利用BC为半圆O的直径,AD⊥BC,PA与半圆O切于点A,证明∠PAB=∠BAD,即可证明AB平分∠PAD;
(Ⅱ)证明△PAB∽△PCA,$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$,即可证明$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$.

解答 证明:(Ⅰ)由题意,BC为半圆O的直径,A为半圆O上一点,
∴∠BAC=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=∠ACD,
∵PA与半圆O切于点A,
∴∠PAB=∠ACD,
∴∠PAB=∠BAD,
∴AB平分∠PAD;
(Ⅱ)连接AC,
∵∠PAB=∠PCA,∠P=∠P,
∴△PAB∽△PCA,
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{AC}$.
在Rt△BAC中,AD⊥CD,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$,
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{AD}{CD}$,$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$,
∴$\frac{PC}{DC}=\frac{PA}{AD}$,$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PA}{AD}$,
∴$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$,
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$.

点评 本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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