Question

[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是    ．
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：[理]先根据抛物线方程和椭圆方程分别求得他们的准线方程，设出A，B的坐标，过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根据抛物线和椭圆的定义求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•=，进而表示出三角形周长，化简整理后，求得周长L关于x₂的表达式，联立抛物线和椭圆方程求得两曲线的交点，判断出x₂的范围，进而确定L的范围．
[文]由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．
解答：解：[理]依题意可知抛物线准线为x=-1
椭圆右准线为x=4
设A（x₁，y） B（x₂，y）
过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圆锥曲线第二定义
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BH|•=
L=x₁+1+x₂-x₁+=
联立抛物线和椭圆方程求得x=或-6（舍负）
∴≤x₂≤2
∴≤≤4
即L的取值范围是（ ）
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的导数 y′=2x-=1，x=1，或 x=-（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于 ，
故点P到直线y=x-2的最小距离为 ，
故答案为：（ ），
点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的应用，点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．