题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n.
(1)求数列{an}的首项a1与递推关系式:an+1=f(an);
(2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数,且A≠1,B≠0,则数列{an-
B1-A
}
是以A为公比的等比数列.”请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn
分析:(1)令n=1,由S1=2a1-3,知a1=3,再由Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,知an+1=2an+1-2an-3,由此能求出an+1=2an+3.
(2)按照定理:A=2,B=3,{an+3}是公比为2的等比数列,由此能求出数列{an}的通项公式.
(3)由an=6•2n-1-3,知Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×3-3)+…+(6×2n-1-3),由此能求出数列{an}的前n项和Sn
解答:解:(1)令n=1,S1=2a1-3.∴a1=3
又Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,
两式相减得,an+1=2an+1-2an-3,(3分)
则an+1=2an+3(4分)
(2)按照定理:A=2,B=3,
∴{an+3}是公比为2的等比数列.
则an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1,∴an=6•2n-1-3.(8分)
(3)∵an=6•2n-1-3,
∴Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×4-3)+…+(6×2n-1-3),
Sn=
6(1-2n)
1-2
-3n=6•2n-3n-6
.(12分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意数列的通项公式的求法和等比数列前n项和的应用.
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