题目内容
已知函数f（x）=2x3-3x2+3．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
（1）当x=2时，f（2）=7
故切点坐标为（2，7）
又∵f′（x）=6x2-6x．
∴f′（2）=12
即切线的斜率k=12
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x2-6x=0，解得x=0或x=1
当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=0时，函数f（x）取极大值3，
当x=1时，函数f（x）取极小值2，
若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故实数m的取值范围为（-3，-2）
故切点坐标为（2，7）
又∵f′（x）=6x2-6x．
∴f′（2）=12
即切线的斜率k=12
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x2-6x=0，解得x=0或x=1
当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=0时，函数f（x）取极大值3，
当x=1时，函数f（x）取极小值2，
若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故实数m的取值范围为（-3，-2）
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