题目内容
【题目】在四棱锥中,
为正三角形,平面
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,请确定点
的位置并证明;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先证明,再根据面面垂直的性质定理可得
平面
,再利用面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅱ)先根据面面垂直的性质定理可得
平面
,再根据棱锥的体积公式可得结果;(Ⅲ)
为
的中点时,
平面
,根先证明平面
平面
,从而可得结果.
试题解析:(Ⅰ)因为,
,
所以.
因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
因为平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)取的中点
,连结
.
因为为正三角形,
所以.
因为平面平面
,
平面平面
,
所以平面
,
所以为三棱锥
的高.
因为为正三角形,
,
所以.
所以 .
(Ⅲ)在棱上存在点
,当
为
的中点时,
平面
.
分别取的中点
,连结
.
所以. 因为
,
,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为,
所以平面平面
.
因为平面
,
所以平面
.
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练习册系列答案
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(参考公式: ,其中
)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |