题目内容
【题目】已知直线过椭圆
的右焦点,且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是
,
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由直线可得椭圆右焦点的坐标为
,由中点
可得
,且由斜率公式可得
,由点
在椭圆上,则
,二者作差,进而代入整理可得
,即可求解;
(2)设直线,点
到直线
的距离为
,则四边形的面积为
,将
代入椭圆方程,再利用弦长公式求得
,利用点到直线距离求得
,根据直线l与线段AB(不含端点)相交,可得
,即
,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
(1)直线与x轴交于点
,所以椭圆右焦点的坐标为
,故
,
因为线段AB的中点是,
设,则
,且
,
又,作差可得
,
则,得
又,
所以,
因此椭圆的方程为.
(2)由(1)联立,解得
或
,
不妨令,易知直线l的斜率存在,
设直线,代入
,得
,
解得或
,
设,则
,
则,
因为到直线
的距离分别是
,
由于直线l与线段AB(不含端点)相交,所以,即
,
所以,
四边形的面积
,
令,
,则
,
所以,
当,即
时,
,
因此四边形面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目