题目内容

(2012•杭州一模)对于函数 f(x)与 g(x)和区间E,如果存在x0∈E,使|f(x0)-g(x0)|<1,则我们称函数 f(x)与 g(x)在区间E上“互相接近”.那么下列所给的两个函数在区间(0,+∞)上“互相接近”的是(  )
分析:对照新定义,利用配方法、导数法可确定函数的值域,由此,就可以得出结论.
解答:解:对于A,f(x)-g(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,∴A不满足;
对于B,g(x)-f(x)= x+2-
x
=(
x
-
1
2
)
2
+
7
4
7
4
,∴不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,
∴B不满足;
对于C,h(x)=f(x)-g(x)=e-x+
1
x
,h′(x)=-e-x-
1
x2
<0,∴函数在(0,+∞)上单调减,
∴x→0,h(x)→1,∴存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,∴C满足;
对于D,h(x)=g(x)-f(x)=x-lnx(x>0),h′(x)=1-
1
x

令h′(x)>0,可得x>1,令h′(x)<0,可得0<x<1,
∴x=1时,函数取得极小值,且为最小值,最小值为h(1)=1,∴g(x)-f(x)≥1,
∴不存在x0∈(0,+∞),使|f(x0)-g(x0)|<1,∴D不满足;
故选C.
点评:本题重点考查对新定义的理解与运用,考查配方法、导数法求函数的值域,有一定的综合性.
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