题目内容
（2012•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B-C）=4sinB•sinC-1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin
=
，求b．
（1）求A；
（2）若a=3，sin
| B |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=-
．可求B+C，进而可求A
（2）由sin
=
，可求cos
=
，代入sinB=2sin
cos
可求B，然后由正弦定理
=
，可求b
| 1 |
| 2 |
（2）由sin
| B |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| B |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
解答：解：（1）由2cos（B-C）=4sinBsinC-1 得，
2（cosBcosC+sinBsinC）-4sinBsinC=-1，即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1．
从而2cos（B+C）=-1，得cos（B+C）=-
． …4分
∵0＜B+C＜π
∴B+C=
，故A=
． …6分
（2）由题意可得，0＜B＜
π
∴0＜
＜
，
由sin
=
，得cos
=
，
∴sinB=2sin
cos
=
． …10分
由正弦定理可得
=
，∴
=
，
解得b=
． …12分．
2（cosBcosC+sinBsinC）-4sinBsinC=-1，即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1．
从而2cos（B+C）=-1，得cos（B+C）=-
| 1 |
| 2 |
∵0＜B+C＜π
∴B+C=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由题意可得，0＜B＜
| 2 |
| 3 |
∴0＜
| B |
| 2 |
| π |
| 3 |
由sin
| B |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| B |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
∴sinB=2sin
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
4
| ||
| 9 |
由正弦定理可得
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| b | ||||
|
| 3 | ||||
|
解得b=
8
| ||
| 9 |
点评：本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．
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