题目内容

（1）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， $数学公式$ • $数学公式$ =3，a=2 $数学公式$ ，b+c=6，求cosA．
（2）设f（x）=-2cos² $数学公式$ x+sin（ $数学公式$ x- $数学公式$ ）+1，y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[- $数学公式$ ，0]时，求y=g（x）的最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =3，∴bc•cosA=3．（1分）
又 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-2bc•cosA，即 $\text{[math]}$ =6²-2bc-2×3，∴bc=5，（5分）
∴cosA= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）f（x）=-2cos² $\text{[math]}$ x+sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）+1=sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．（8分）
∵y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴g（x）=f（2-x）= $\text{[math]}$ sin[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）．（10分）
∵x∈[- $\text{[math]}$ ，0]，∴ $\text{[math]}$ ≤（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最大值为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即当x∈[- $\text{[math]}$ ，0]时，求y=g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =3，可得 bc•cosA=3，再由余弦定理求得 bc=5，由此求得 cosA= $\text{[math]}$ ．
（2）由三角函数的恒等变换及化简求值可得f（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），根据对称性可得 g（x）=f（2-x）= $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），再由x∈[- $\text{[math]}$ ，0]，求得 $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最大值，
即为所求．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．