Question

已知f（x）=loga

1-kx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求k的值，并求该函数的定义域；
（2）根据（1）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）解关于x的不等式f（x²+2x+2）+f（-2）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得k．利用真数为正，求出定义域．
（2）利用函数单调性的定义，通过对a分类讨论判断出f（x）的单调性．
（3）对a分类讨论，利用函数的单调性脱去对数符号，解不等式求出解集．

解答：解：（1）f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)=-loga

1+kx

-x-1

=loga

-x-1

1+kx

∴

1-kx

x-1

=

-x-1

1+kx

，x2-1=(kx)2-1
∴（k²-1）x²=0，又k≠1∴k=-1；
∴f(x)=loga

x+1

x-1

由

x+1

x-1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1
∴f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}．
（2）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=loga

x2+1

x2-1

-loga

x1+1

x1-1

=loga(

x2+1

x2-1

•

x1-1

x1+1

)=loga

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1.0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．
当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）原不等式即为f（x²+2x+2）＞f（2）． 当a＞1时 得出，1＜x²+2x+2＜2，解得2＜x＜0，且x≠-1．
当0＜a＜1时，得出x²+2x+2＞2，解得 x＜-2，或x＞0．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的定义、利用对数函数的单调性解对数不等式、分类讨论的数学思想，考查推理论证、计算能力．