题目内容
19．设集合M⊆{1，2，…，2011}，满足：在M的任意三个元素中，都可以找到两个元素a，b，使得a|b或b|a，求|M|的最大值（其中|M|表示集合M的元素个数）分析 当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21．利用反证法证明原式子成立．
解答 解：当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21
假设|M|≥22，设M中得元素为a1＜a2＜…＜ak（k≥22）
首先证明an+2≥2an，否则an＜an+1＜an+2＜2an，那么an，an+1，an+2中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
由上述结论知：a4≥2a2≥4，
a6≥2a4≥8，…${a}_{22}≥2{a}_{20}≥{2}^{11}＞2011$矛盾！
综上，|M|的最大值为21．
点评 本题主要考查了集合在代数中的综合应用，属于难度较大的题型，常用作奥林匹克竞赛题目．
练习册系列答案
相关题目
9．某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：
（1）设x=$\frac{M}{100}$，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；
（参考公式：$\hat y=\hat bx+\hat a$；其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\overline a=\overline y-\hat b\overline x$）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
| M | 900 | 700 | 300 | 100 |
| y | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
| M | [0，200] | （200，400] | （400，600] | （600，800] | （800，1000] |
| 频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
（参考公式：$\hat y=\hat bx+\hat a$；其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\overline a=\overline y-\hat b\overline x$）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
10．若复数z=2-i （ i为虚数单位），则$\frac{10}{z}$=（ ）
| A． | 4+2i | B． | 20+10i | C． | 4-2i | D． | $\frac{20}{3}+\frac{10}{3}i$ |
7．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
（Ⅰ）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$与$\overrightarrow{ON}$夹角θ的大小．
| x | x1 | $\frac{1}{3}$ | x2 | $\frac{7}{3}$ | x3 |
| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| Asin（ωx+φ）+B | 0 | $\sqrt{3}$ | 0 | -$\sqrt{3}$ | 0 |
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$与$\overrightarrow{ON}$夹角θ的大小．
14．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则C的焦距等于（ ）
| A． | 2 | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 4 |
4．函数y=cos2（x+$\frac{π}{2}$）的单调递增区间（ ）
| A． | （2kπ，2kπ+π）k∈Z | B． | （2kπ，2kπ+2π）k∈Z | C． | （kπ，kπ+$\frac{π}{2}$）k∈Z | D． | （kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π）k∈Z |
砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：mg/1000L）：