题目内容

9．砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：mg/1000L）：
甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：
52   32   41   72   43   35   45   61   53   44
乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：
44   56   38   61   72   57   64   71   58   62
（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；
（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．

分析 （I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为$\overline x$，乙地区调查数据的平均数为$\overline y$，推出乙地区的饮用水中砷含量更高．
法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高．
（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望．

解答 解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为$\overline x$，

$\overline x=\frac{1}{10}（52+32+41+72+43+35+45+61+53+44）=47.8$；
设乙地区调查数据的平均数为$\overline y$，$\overline y=\frac{1}{10}（44+56+38+61+72+57+64+71+58+62）=58.3$．
由以上计算结果可得$\overline{x}＜\overline{y}$，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．
法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（5分）
（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：
$\begin{array}{l}P（X=0）=C_3^0•{（\frac{4}{5}）^0}•{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}，P（X=1）=C_3^1•{（\frac{4}{5}）^1}•{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}\\ P（X=2）=C_3^2•{（\frac{4}{5}）^2}•{（\frac{1}{5}）^1}=\frac{48}{125}，P（X=3）=C_3^3•{（\frac{4}{5}）^3}•{（\frac{1}{5}）^0}=\frac{64}{125}\end{array}$
X的分布列为…（10分）

X0123
P$\frac{1}{125}$$\frac{12}{125}$$\frac{48}{125}$$\frac{64}{125}$
∵$X～B（3，\frac{4}{5}）∴E（X）=\frac{12}{5}$…（12分）

点评 本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．

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33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77    35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 85   23 45 78 89 07    23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32    45 77 89 23 45．
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