Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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2

AD．
（1）求证：平面PAC⊥面PCD；
（2）在棱PD上找一点E，使CE∥面PAB，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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2

AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
（2）取棱PD的中点E，做EF⊥AD于F，则F为AD的中点，根据三角形中位线定理可得EF∥PA，根据线面平行的判定定理，我们可得CE∥面PAB；
（3）先过F作FG垂直AC于G，得∠EGF即为二面角E-AC-D的平面角；最后通过求EF以及FG的长即可求出结论．

解答：证明：（1）设PA=1，由题意PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，而∠PBA=45°，∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）取E为PD的中点，作EF⊥AD于F，则F为AD的中点，且EF∥PA，
∴EF∥平面PAB，
由F为AD的中点以及PA=BC=

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2

AD可得AF=BC，AF∥BC
所以；ABCF为平行四边形；
∴CF∥AB；
CF∥平面PAB，
得到平面EFC∥平面PAB，
∴CE∥面PAB
（3）由第二问知，EF⊥平面ABCD；
过F作FG垂直AC于G，
由三垂线定理得∠EGF即为二面角E-AC-D的平面角．
由第一问得到的AC⊥CD
可得FG∥CD，FG=

1

2

CD，
在RT△EFG中，EF=

1

2

PA=

1

2

，FG=

1

2

CD=

2

2

．
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

2

．
∴二面角E-AC-D的大小为：arctan

2

2

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得CD⊥面PAC，（2）的关键是证得EF∥PA．