Question

一数列{a_n}的前n项的平均数为n．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设，证明数列{b_n}是递增数列；

（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

解答：

解：（1）由题意可得，∴，

当n=1时，a₁=S₁=1；

当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=n²﹣（n﹣1）²=2n﹣1．

当n=1时也成立．故a_n=2n﹣1．

（2）作差b_n+1﹣b_n====，

∴b_n+1＞b_n对于任意正整数n都成立，因此数列{b_n}是递增数列．

（3）∵递增，∴有最小值，

∴，解得x²﹣4x+1≥0，．

所以M=．

存在最大的数M=，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．