Question

一数列{a_n}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，证明数列{b_n}是递增数列；
（3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平均数的意义和当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，证明其大于0即可；
（3）利用（2）递增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的数M．
解答：解：（1）由题意可得，∴，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n====，
∴b_n+1＞b_n对于任意正整数n都成立，因此数列{b_n}是递增数列．
（3）∵递增，∴有最小值，
∴，解得x²-4x+1≥0，．
所以M=．
存在最大的数M=，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．
点评：熟练掌握数列的通项公式与其前n项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不等式的解法及其转化法等是解题的关键．