题目内容

已知x=1是函数f（x）=x3-ax（a为参数）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值．
（1）由已知f'（x）=3x2-a，…（2分）
因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
（2）解f'（x）=3x2-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以，（-∞，-1），（1，+∞）是函数f（x）的递增区间；（-1，1）函数f（x）的递减区间．…（8分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最小值为f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值为f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值分别为2和-2．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=elnx，g（x）=lnx-x-1，h（x）=
1
2
x2．
（Ⅰ）求函数g（x）的极大值．
（Ⅱ）求证：存在x0∈（1，+∞），使g(x0)=g(
1
2
)；
（Ⅲ）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线．试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=x3-6x2-1．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．
已知函数f（x）=
1
3
x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，
11
3
）处的切线斜率为-4，求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．
求函数f（x）=x5+5x4+5x3+1在区间[-1，4]上的最大值与最小值．
已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=
lnx
x
，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（ II）当a=1时，对任意x1，x2∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+
17
27

（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
已知函数f（x）=ex-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．
函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(
π
3
)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）试比较f(
b
a
)与f(
c
a
)的大小关系．
设函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
(2a-1)x2+[a2-a-f′(a)]x+b，(a，b∈R）
（1）求f′（a）的值；
（2）若对任意的a∈[0，1]，函数f（x）在x∈[0，1]上的最小值恒大于1，求b的取值范围．

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