题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的左、右焦点分别为
,离心率为
,以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切. 过点
的直线与椭圆
相交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)离心率为即
,以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切,即圆心到直线
的距离
,解得
,
,所以椭圆
的方程为
;
(2)①当直线的斜率为时,不符合题意;②当直线的斜率不为
时,设直线方程为
,联立直线的方程和椭圆的方程,消去
,写出根与系数关系,得
,
,由
可得
,
,
.所以直线方程为
或
;
(3)由(2)结合弦长公式、点到直线距离公式,可求得的表达式为
,利用基本不等式求得最大值为
.
试题解析:
(1)设椭圆方程为(
),
∵离心率为,∴
,即
,又
,∴
.
∵以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切,
∴圆心到直线的距离
,∴
,
.
∴椭圆的方程为
(2)由题意可设直线方程为
①当直线的斜率为0时,不符合题意;
②当直线的斜率不为0时,则直线方程为,
可设,
,由
可得
,得
.
由得
,由
,
则,
,
可得方程为,解得
,
.
∴直线方程为或
.
(3)由(2)可得
当且仅当时“=”成立,即
时,
面积的最大值为2.
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