Question

已知二次函数f（x）=px²+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若cn=

1

3

(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=px²+qx（p≠0），知f′（x）=2px+q=6x-2，所以f（x）=3x²-2x，由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，知S_n=3n²-2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵f（x）=px²+qx（p≠0），
∴f′（x）=2px+q=6x-2，
∴p=3，q=2，
∴f（x）=3x²-2x，
∵点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5．
（2）由（1）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，
当n=1时，b1=

1

2

，…（7分）
当n≥2时，2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn=2n-12b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1=2(n-1)-1
两式相减得：bn=

1

2n-1

=21-n，…（11分）
故数列{b_n}的通项公式：bn=

1 2 ，n=1 21-n，n≥2，n∈N*

…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．