题目内容
设⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圆心在抛物线y=x2上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为a1，a2，…，an，已知a1=
，a1＞a2＞…＞an＞0，若⊙Ck（k=1，2，3，…，n）都与x轴相切，且顺次两圆外切．（1）求证：
是等差数列；（2）求an的表达式；
（3）求证：a12+a22+…+an2＜
．
【答案】分析：（1）由题意知：⊙Cn：rn=
，⊙Cn-1 ；
，根据两圆相外切的性质可知|Cn-1Cn|=rn-1+rn，根据两点间的距离公式整理可求
，根据等差数列的通项公式可求
进而可求an
（2）根据（1）可求
，进而可求an
（3）由
=
，利用裂项求和及不等式的放缩法可证
解答：（1）证明：由题意知：rn=yn
，
所以Cn-1（an-1，
），Cn（an，
）…（2分）
∵|Cn-1Cn|=rn-1+rn，
∴
=
…（4分）
两边平方，整理得
…（5分）
∵an-1＞an，
∴an-1-an=2an-1an…（6分）
∴
…（7分）
故
是以4为首项，公差为2的等差数列．…（8分）
（2）解：由（1）知，
，
∴
…（10分）
（3）证明：∵
…（11分）
=
…（12分）
∴
=
…（14分）
点评：本题主要考查了圆的外切性质的应用，利用构造等差数列求解数列的通项公式及裂项求和方法的应用．
，⊙Cn-1 ；，根据两圆相外切的性质可知|Cn-1Cn|=rn-1+rn，根据两点间的距离公式整理可求，根据等差数列的通项公式可求进而可求an（2）根据（1）可求
，进而可求an（3）由
=，利用裂项求和及不等式的放缩法可证解答：（1）证明：由题意知：rn=yn
，所以Cn-1（an-1，
），Cn（an，）…（2分）∵|Cn-1Cn|=rn-1+rn，
∴
=…（4分）两边平方，整理得
…（5分）∵an-1＞an，
∴an-1-an=2an-1an…（6分）
∴
…（7分）故
是以4为首项，公差为2的等差数列．…（8分）（2）解：由（1）知，
，∴
…（10分）（3）证明：∵
…（11分）=
…（12分）∴
=
…（14分）点评：本题主要考查了圆的外切性质的应用，利用构造等差数列求解数列的通项公式及裂项求和方法的应用．
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