Question

（2011•怀柔区一模）已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜测a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少个；
（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，试求l（A）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中的有关新定义并且结合题中所给的集合即可得到l（P）和l（Q）的答案．
（II）根据组合的有关知识可得：

C

2 n

=

n(n-1)

2

个，再结合题中所给的定义解释即可得到答案．
（Ⅲ） 由题意可得：l(A)≤

n(n-1)

2

，再分情况讨论当j≠l时与当j=l，i≠k时，均有a_i+a_j≠a_k+a_l，进而得到l(A)=

n(n-1)

2

．

解答：解：（Ⅰ）因为集合P={2，4，6，8}，
所以2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
所以可得：l（P）=5．
因为集合Q={2，4，8，16}，
所以2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
所以可得：l（Q）=6．
（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

个．
因为在集合A的n个元素中任取一个元素，共有n种，再从余下的n-1个元素中任取一个元素，
共有n-1种．把取出的元素两两作和共有n（n-1）个，
因为a_j+a_i=a_i+a_j等情况，
所以对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

个．
（Ⅲ） 因为集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

个a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l(A)≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
当j=l，i≠k时，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，当且仅当i=k，j=l时，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l(A)=

n(n-1)

2

．

点评：本题主要考查集合与元素的关系，以及组合的有关知识，认真审题，正确的理解题意并且仔细解答是解题的关键点．