题目内容

(2011•怀柔区一模)已知函数f(x)=x2-2alnx-1(a≠0).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的极值.
分析:(I)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.
(II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,再求出极值即可.
解答:解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x2-4lnx-1,
∴f(1)=0
f′(x)=2x-
4
x
=
2(x2-2)
x

∴f′(1)=-2
所以y-0=-2(x-1)
即f(x)在x=1处的切线方程为2x+y-2=0-------------(5分)
(II)因为f(x)=x2-2alnx-1(a≠0)
所以f′(x)=2x-
2a
x
=
2(x2-a)
x
(x>0)--------------(6分)
(1)当a<0时,
因为x>0,且x2-a>0,
所以f'(x)>0对x>0恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值---------------------(8分)
(2)当a>0时,
令f'(x)=0,解得x1=
a
,x2=-
a
(舍)------------------------(10分)
所以,当x>0时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,
a
a
a
,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 极小值
------------------------------------------------(12分)
所以,当x=
a
时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=a-alna-1.
综上,当a<0时,方程f'(x)=0无解,函数f(x)在(0,+∞)上无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=
a
处取得极小值f(x)极小值=a-alna-1.--------------(13分)
点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力及分类讨论思想.属于基础题.
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