在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.给出下列命题:①若A＞B＞C.则sinA＞sinB＞sinC,②若$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$.则△ABC为等边三角形,③存在角A.B.C.使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立,④若a=40.b=20.B=25°.则满足条件的△ABC有两个,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题：
①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$，则△ABC为等边三角形；
③存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的△ABC有两个；
⑤若0＜tanAtanB＜1，则△ABC是钝角三角形．
其中正确的命题为①④⑤（写出所有正确命题的序号）

分析 ①若A＞B＞C，可得a＞b＞c，再利用正弦定理即可判断出正误；
②由正弦定理可知：$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$恒成立，即可判断出△ABC的形状，即可判断出正误；
③由于当C≠$\frac{π}{2}$时，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，化简整理即可判断出正误；
④若a=40，b=20，B=25°，则40sin25°＜40sin30°=20，可得满足条件的△ABC有两个，即可判断出正误；
⑤若0＜tanAtanB＜1，则-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＞0，可得tanC＜0，可得△ABC的形状，即可判断出正误；．

解答解：①若A＞B＞C，∴a＞b＞c，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，则sinA＞sinB＞sinC，正确；
②由正弦定理可知：$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$恒成立，则△ABC为任意三角形，不正确；
③由于当C≠$\frac{π}{2}$时，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，∴tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC，因此不正确；
④若a=40，b=20，B=25°，则40sin25°＜40sin30°=20，因此满足条件的△ABC有两个，正确；
⑤若0＜tanA tanB＜1，则-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$＞0，∴tanC＜0，C∈（0，π），∴$C∈（\frac{π}{2}，π）$，△ABC是钝角三角形，正确．
综上可得：正确的命题为：①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评本题考查了正弦定理、两角和差的正切公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．