Question

6．已知点p（x，y）是圆（x-2）²+y²=1上任意一点．
（1）求$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值；
（2）求（x-2）²+（y-3）²的最大值和最小值；
（3）若x-2y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{y-2}{x-1}$=m，从而得到mx-y+2-m=0，然后利用直线与圆相切时，此时m有最值，求解即可；
（2）可以借助于式子（x-2）²+（y-3）²的几何意义为：圆上的点到定点A（2，3）的距离的平方，然后，确定其最大值和最小值．
（3）利用转化思想，x-2y+a≥0恒成立，只需要a≥（-x+2y）_max即可，然后，利用圆的参数方程，借助于辅助角公式进行求解．

解答 解：（1）设$\frac{y-2}{x-1}$=m，
∴mx-y+2-m=0，
∵当该直线与圆相切时，此时m有最值，
∴$\frac{|2m-0+2-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，
∴m=-$\frac{3}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值为-$\frac{3}{4}$，没有最小值；
（2）（x-2）²+（y-3）²的几何意义为：
圆上的点到定点A（2，3）的距离的平方，
∵点A到圆心（2，0）的距离为3，
则所求最大值为（3+1）²=16；
最小值为（3-1）²=4．
（3）设圆的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴x-2y+a≥0恒成立，
只需要a≥（-x+2y）_max即可，
设t=-x+2y=-（2+cosθ）+2sinθ
=2sinθ-cosθ-2
=$\sqrt{5}$sin（θ-φ）-2，
∴t_max=$\sqrt{5}$-2，
∴a≥$\sqrt{5}$-2，
∴实数a的取值范围[$\sqrt{5}$-2，+∞）．

点评 本题重点考查了圆的参数方程、直线与圆的位置关系、恒成立问题等知识，属于中档题．