题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,如图所示,已知椭圆
的左、右顶点分别为
,
,右焦点为
.设过点
的直线
,
与此椭圆分别交于点
,
,其中
,
,
.
(1)设动点满足:
,求点
的轨迹;
(2)设,
,求点
的坐标;
(3)设,求证:直线
必过
轴上的一定点(其坐标与
无关),并求出该定点的坐标.
【答案】(1) 的轨迹为直线
. (2)
(3) 直线
必过
轴上一定点
.
【解析】
(1)根据椭圆的标准方程可得、
、
的坐标,设动点
.根据条件
,结合两点间距离公式,化简即可得解.
(2)根据,
代入椭圆方程即可求得
、
的坐标.进而求得直线
与直线
的方程.联立两条直线方程即可求得交点
的坐标.
(3)设出直线与直线
的方程,分别联立椭圆方程即可表示出
、
的坐标.讨论
与
,并分别求得
的值.即可求得所过定点的坐标.
(1)由题设得,,
,
,设动点
,
由,
,
,
代入化简得.
故点的轨迹为直线
(2)由,
,
得
,则点
,
直线的方程为
,
由,
,
得
,则点
.
直线的方程为
,
由.解方程组可得
即
(3)由题设知,直线的方程为:
,直线
的方程为:
,
点满足
,
,
;
点满足
,
,
;
若,
且
,得
,
此时直线的方程为
,过点
;
若,则
,直线
的斜率
,
直线的斜率
,
所以,所以直线
过点
.
因此直线必过
轴上一定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)画出茎叶图.
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适?