题目内容

已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
分析：（1）由
1
2
•|
OF
|•|
FQ
|sin(π-θ)=2
6
|
OF
|•|
FQ
|cosθ=m
，知tanθ=
4
6
m
，由此能求出向量
OF
与
FQ
的夹角θ的正切值的取值范围．
（2）设所求的双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，Q（x1，y1），
FQ
=(x1-c，y1)，S△OFQ=
1
2
|
OF
|•|y1|=2
6
，y1=±
4
6
c
，由(x1-c)•c=(
6
4
-1)c2，知|
OQ
|=
x
2
1
+
y
2
1
=
96
c2
+
3c2
8
≥
12
．由此能求出此双曲线的方程．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）l1的方程为y=
3
x，l2的方程为y=-
3
x，有y1=
3
x1，y2=-
3
x2，由2|AB|=5|FF1|，知2
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=5•2c=40，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程．
解答：解：（1）
1
2
•|
OF
|•|
FQ
|sin(π-θ)=2
6
|
OF
|•|
FQ
|cosθ=m

∴tanθ=
4
6
m
，
∴
6
＜m＜4
6

∴1＜tanθ＜4．
∴
π
4
＜θ＜arctan4．
（2）设所求的双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则
FQ
=(x1-c，y1)
∴S△OFQ=
1
2
|
OF
|•|y1|=2
6
，
∴y1=±
4
6
c
又由(x1-c)•c=(
6
4
-1)c2，
∴x1=
6
4
c，
∴|
OQ
|=
x
2
1
+
y
2
1
=
96
c2
+
3c2
8
≥
12
．
当且仅当c=4时，|
OQ
|最小，此时Q的坐标为(
6
，
6
)或(
6
，-
6
)
∴
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16
，
∴
a2=4
b2=12
，
∴所求方程为
x2
4
-
y2
12
=1．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）l1的方程为y=
3
x，l2的方程为y=-
3
x
则有y1=
3
x1①y2=-
3
x2②
∵2|AB|=5|FF1|
∴2
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=5•2c=40
∴
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=20③
设M（x，y）由①②得y1+y2=
3
(x1-x2)y1-y2=
3
(x1+x2)
∴2y=
3
(x1-x2)，y1-y2=2
3
x
∴x1-x2=
2y
3
，y1-y2=2
3
x
代入③得(
2y
3
)2+(2
3
x)2=400
∴
y2
300
+
x2
100
3
=1．
∴M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
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精英家教网已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）当
6
＜m＜4
6
时，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；
（2）设|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
精英家教网如图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范围；
（Ⅱ）设|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
OQ
|取最小值时，求椭圆的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．
（2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．

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