题目内容

精英家教网如图,已知△OFQ的面积为S,且
OF
FQ
=1

(Ⅰ)若
1
2
<S<
3
2
,求
OF
FQ
的范围;
(Ⅱ)设|
OF
|=c(c≥2),S=
3
4
c.
若以O为中心,F为一个焦点的椭圆经过点Q,以c为变量,当|
OQ
|
取最小值时,求椭圆的方程.
分析:(Ⅰ)令
OF
FQ
>=θ
,由题设知|
OF
| |
FQ
| =
1
cosθ
S=
1
2
tanθ
,∵
1
2
<S<
3
2
,∴1<tanθ<
3
,由此可求出
OF
FQ
的范围..
(Ⅱ)以O为原点,OF所在直线为x轴建立直角坐标系,并令Q(m,n),则F(c,0),由题设知
OF
FQ
=c(m-c)=1
.m=c+
1
c
Q(c+
1
c
3
2
)
.由此知|
OQ
|
2
 =(c+
1
c
)
2
+
9
4
,由此入手,当|
OQ
|
取最小值时,能够求出椭圆的方程.
解答:解:(Ⅰ)令
OF
FQ
>=θ

OF
FQ
=1
,∴|
OF
| |
FQ
| cosθ=1
,∴|
OF
| |
FQ
| =
1
cosθ

S=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sin(π-θ)
=
1
2
|
OF
| |
FQ
| sinθ

S=
1
2
tanθ
,∵
1
2
<S<
3
2
,∴1<tanθ<
3

∵θ∈[0,π],∴
π
4
<θ<
π
3


(Ⅱ)以O为原点,OF所在直线为x轴建立直角坐标系,并令Q(m,n),则F(c,0),
S=
1
2
cn
S=
3
4
c
,∴n=
3
2

OF
=(c,0),
FQ
=(m-c,n)

OF
FQ
=c(m-c)=1

m=c+
1
c
,∴Q(c+
1
c
3
2
)

|
OQ
|
2
 =(c+
1
c
)
2
+
9
4

∵c≥2,
∴当c=2时,|
OQ
|
最小,此时Q(
5
2
3
2
),
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

c2=4=a2-b2
(
5
2
)
2
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1

∴a2=10,b2=6.
∴所求椭圆为
x2
10
+
y2
6
=1
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意积累解题方法.
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